Distribuciones de probabilidad: el lenguaje de la incertidumbre
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Una distribución describe cómo se reparte la probabilidad entre los posibles valores de una variable aleatoria. Si la variable toma valores contables (número de defectos, de llamadas, de aciertos) se habla de distribución discreta; si toma cualquier valor en un intervalo (tiempo, peso, temperatura) es continua.
Las distribuciones más usadas
- Binomial: número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p constante.
- Poisson: conteo de eventos raros en un intervalo de tiempo o espacio.
- Normal: la campana simétrica que modela errores de medición y muchos fenómenos naturales.
- Exponencial: tiempo hasta el siguiente evento en un proceso de Poisson.
- t de Student, ji-cuadrado y F: base de los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.
Función de probabilidad, densidad y acumulada
En variables discretas, la función de masa da P(X = x). En continuas, la densidad no es una probabilidad: la probabilidad es el área bajo la curva. La función acumulada F(x) = P(X ≤ x) permite calcular cualquier probabilidad de un intervalo restando acumuladas. Los cuantiles hacen el camino inverso: dado un porcentaje, encuentran el valor.
Cómo usar la calculadora
Elige la distribución en el panel lateral, ingresa sus parámetros y el valor o intervalo que te interesa. Obtendrás la probabilidad, los estadísticos (media, varianza) y la gráfica con el área sombreada. Es útil para verificar ejercicios de clase y para entender cómo cambian la forma y la probabilidad al variar los parámetros.
Ejemplo resuelto
Una prueba tiene 10 preguntas de verdadero/falso y alguien responde al azar. El número de aciertos es binomial con n = 10 y p = 0,5. La probabilidad de acertar exactamente 6 es P(X = 6) = 0,2051 y la de acertar 6 o menos, P(X ≤ 6) = 0,8281. En otro caso, si una línea recibe en promedio 3 llamadas por minuto, el número de llamadas es Poisson con λ = 3 y P(X = 2) = 0,2240. Ingresa esos parámetros y verifica.
Errores frecuentes y buenas prácticas
- Elegir la distribución por el tipo de variable. Conteos de éxitos en ensayos fijos sugieren binomial; eventos por unidad de tiempo, Poisson; mediciones continuas simétricas, normal.
- Parámetros. Confirme si el parámetro de dispersión es la varianza o la desviación estándar; confundirlos es un error frecuente.
- Discreta versus continua. En distribuciones discretas P(X ≤ k) y P(X < k) son distintas; en continuas, coinciden.
- Ajuste. Antes de asumir que sus datos siguen una distribución, compare un histograma con la curva teórica.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé qué distribución usar?
Pregúntate qué mide la variable: conteo de éxitos en ensayos fijos (binomial), eventos por unidad de tiempo (Poisson), mediciones continuas simétricas (normal) o tiempos de espera (exponencial).
¿Qué significa P(X ≤ x)?
Es la probabilidad acumulada: la probabilidad de que la variable sea menor o igual al valor x.
¿La densidad de una continua puede ser mayor que 1?
Sí. La densidad no es una probabilidad; lo que no puede superar 1 es el área total bajo la curva.
¿Cuándo se aproxima una binomial con una normal?
Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1; una regla común es n·p ≥ 5 y n·(1 − p) ≥ 5.