Fundamentos de probabilidad y combinatoria
La probabilidad como medida de incertidumbre
La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1 que mide qué tan posible es que ocurra. Si todos los resultados son igualmente probables, se calcula como casos favorables ÷ casos posibles. Sus reglas básicas: la probabilidad del espacio muestral es 1, y la de la unión de eventos disjuntos es la suma de sus probabilidades.
Combinatoria: contar sin enumerar
- Factorial (n!): formas de ordenar n elementos distintos.
- Permutaciones: arreglos donde el orden importa, nPr = n!/(n−r)!.
- Combinaciones: selecciones donde el orden no importa, nCr = n!/(r!(n−r)!).
La pregunta clave: ¿cambia el resultado si cambio el orden? Si sí, permutación; si no, combinación.
Probabilidad condicional y teorema de Bayes
P(A|B) es la probabilidad de A sabiendo que B ocurrió: P(A∩B)/P(B). Dos eventos son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro. El teorema de Bayes permite invertir condicionales y actualizar creencias con nueva evidencia: es la base de pruebas diagnósticas, filtros de correo y muchos modelos de decisión.
Cómo usar la herramienta
Selecciona el módulo (combinatoria, probabilidad de eventos, condicional o Bayes), ingresa los datos y obtén el resultado con el procedimiento. Recomendamos resolver primero a mano y usar la calculadora para verificar.
Ejemplo resuelto
De un grupo de 10 personas se elige un comité de 3: hay C(10,3) = 120 comités posibles (el orden no importa); pero si se asignan presidente, secretario y tesorero, hay P(10,3) = 720 formas. Con Bayes: una enfermedad tiene prevalencia de 1 %, la prueba detecta al 95 % de los enfermos (sensibilidad) y da negativo en el 90 % de los sanos (especificidad). Si el resultado es positivo, la probabilidad de estar enfermo es 0,0095/(0,0095 + 0,099) ≈ 8,8 %: con una enfermedad poco frecuente, la mayoría de los positivos son falsos positivos.
Errores frecuentes y buenas prácticas
- Confundir permutaciones y combinaciones. Si el orden importa, son permutaciones; si no, combinaciones. Pregúntese: ¿cambiar el orden produce un resultado distinto?
- Sucesos independientes y excluyentes no son lo mismo. Dos sucesos excluyentes con probabilidad positiva son dependientes, porque si ocurre uno el otro no puede ocurrir.
- Falacia de la tasa base. En Bayes, ignorar la prevalencia lleva a sobreestimar la probabilidad tras una prueba positiva.
- Verifique que sumen 1. Las probabilidades de todos los resultados posibles deben sumar 1; es la comprobación más rápida de un planteamiento.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre permutación y combinación?
En la permutación importa el orden (podios, claves); en la combinación no (comités, manos de cartas).
¿Qué significa que dos eventos sean independientes?
Que P(A∩B) = P(A)·P(B); la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro.
¿Eventos mutuamente excluyentes son independientes?
No. Si son excluyentes y tienen probabilidad positiva, saber que uno ocurrió implica que el otro no, así que son dependientes.
¿Para qué sirve Bayes en la práctica?
Para calcular, por ejemplo, la probabilidad de tener una enfermedad dado un resultado positivo, combinando la prevalencia con la sensibilidad y especificidad de la prueba.